Why is local symmetry called 'gauge' symmetry in quantum field theory?

What follows is the English version of a recent post of mine in Italian, Le teorie di calibro di Weyl, aimed at reaching a larger audience for the answer to the question in the title, which seems to be quite an unknown issue, albeit an unimportant one, at least from the physics point of view.

But then I stumbled upon the Thanksgiving 2012 post of Sean Carroll, where you can read:

[...] it’s called a gauge field, because Hermann Weyl introduced an (unhelpful) analogy with the “gauge” measuring the distance between rails on railroad tracks.

and the fact that Sean is certainly a non-average physicist leads me to believe that it may not only be just an unknown matter, but a misknown one: I don't know where Sean read about the gauge as a metaphor for the rails distance, but the story is quite different from that — and by far more interesting.

My original post was intended as a summary of an issue I already pointed out here and there in the comments section of different blogs (all of them in italian). I can't remember for sure where I read of it, most probabily in the Gravitation book, but it is not such a mystery since the wikipedia page on gauge theory, both in English and in Italian, says all, and even more, what I know about it.

 

A starting point can be the question of which was, historically, the very first gauge theory. Such a question mixes up words and meanings, so the answer needs to clarify.

For sure the Maxwell's classical electrodynamics is the oldest theory among the ones we nowadays say they have a gauge symmetry, but at the time of Maxwell the term "gauge symmetry" was unknown and such a symmetry was actually intended as a mere redundancy of the potentials fields with respect to the physical fields.

The theory that for the first time was expressed in term of a local symmetry is General Relativity. But, again, not when it was first presented by Einstein, where the now-we-know-is-a gauge symmetry was just stated as the Principle of general covariance, i.e. as a coordinate change invariance.

 

Entering Weyl.

 

The gauge story begun when he recast Einstein's General Relativity using a different but equivalent formalism, according to which the principle of general covariance can be seen as the invariance of the theory under an arbitray local rotation of the tetrad, the base of the tangent bundle vector space.

But even here the term gauge was not introduced yet.

Eventually it was introduced a moment later, by Weyl of course, while trying to extend his tetrads formalism. The idea was to require the theory to be invariant under an arbitrary local change not only in the tetrad orientation, but also in its scale factor. Such a new symmetry was supposed to generate the Maxwell equations for the electromagnetic four-potential, in the very same way in which the tetrad orientation symmetry generates the Einstein equations for the gravitational field. This is why Weyl introduced the name gauge for such a symmetry, the scale factor being the "size" of the base's vectors as measured by a gauge (and no railroad analogy was involved).

Unfortunately, such an attempt didn't work in his original formulation. The idea behind was of great value though. It turned out, in fact, that electrodynamics could actually be represented as a local symmetry field theory: the two key points were to keep the idea of a rotational symmetry (like the one of the tetrads) and to give up the idea of a symmetry of the tangent bundle. The Maxwell four-potential, now we know, had to be seen as the Lie generator of a U(1) rotational symmetry of an additional "abstract" fiber bundle attached to the space-time manifold. More generally, all fundamental interactions are today understood as the effect of a symmetry each with respect to its own Lie group SU(3) × SU(2) × U(1). Despite the fact that no size nor scale was involved any more, the name gauge got stuck to all such a local symmetry field theories.

 

But our story has much more than just historical and etymological lesson to be learned.

 

Usually in quantum field theory lectures the gauge symmetry idea is presentes as an upgrading procedure from a global symmetry to a local one. The prototypical example is the phase e^iφ of the wave function, which is assigned a space dependence e^iφ(x) to. The power of such extension is clear, since this requirement is just enough, alone, to get the Maxwell electrodynamics equations, via minimal coupling.

But anyway such a recipe seems to come out of the blue: why should we devise such a point-to-point change of phase symmetry? Moreover, such a requirement is usually intended as a stricter constraint to the theory, since the transformation class under which the theory should remain unchanged is wider. So what?

Well, the real thing behind "gauging the global symmetry" lies precisely in the reason which moved Weyl to formulate its gauge theory of electrodynamics, which in turns boils down to the principle of general covariance.

When Einstein requires that equations of physics should be invariant with respect to any coordinates change, he is actually requiring a stronger symmetry, compared the previous requirement that equations should be invariant under just inertial reference changes. But the meaning of such a requirement is definitely the very opposite of imposing a stricter constraint: the meaning is just to relax the constraint that physical law are valid just within a small, arbitrary subset of reference frames! In the very same sense, the requirement that a field theory should have a local symmetry has to be intended as the release of the constraint that the bases of the Lie algebra of the gauge group should be rigidly oriented everywhere.

Hence, just like the gravitational field is an inertial effect due to the "connection" (in the technical sense of differential geometry) between two point at a finite distance which are not reciprocally inertial, in the same way the electromagnetic field is a U(1)-inertial effect due to the connection between two point at a finite distance which have the algebra bases not aligned each other.

probabilità negative, ovvero: non poteva che essere meccanica quantistica

— La Meccanica Quantistica è quello a cui si arriva inevitabilmente se si parte dalla teoria della probabilità e si prova poi a generalizzarla in maniera che i numeri che usualmente chiamiamo "probabilità" possano essere negativi. In questi termini, la teoria avrebbe potuto essere inventata dai matematici nel XIX secolo senza alcun input sperimentale. Non è stato così, ma avrebbe potuto essere.

— Eppure, con tutte le strutture studiate dai matematici, nessuno di essi è giunto alla meccanica quantistica finchè l'esperimento non l'ha costretto.

— Questa è una perfetta esemplificazione del perchè gli esperimenti sono importanti. Quasi sempre l'unico vero motivo per cui abbiamo bisogno degli esperimenti è che non siamo abbastanza acuti. Una volta effettuati gli esperimenti, se abbiamo imparato qualcosa che valeva la pena sapere, è — si spera — proprio il perchè non era necessario partire con un esperimento, perchè non avrebbe avuto senso che il mondo fosse altrimenti. Ma eravamo troppo ottusi per capirlo da soli!

Scott Aaronson, PHYS771, Lecture 9
(mia libera traduzione)

 

Mi sarebbe piaciuto condividere, ma in fondo le cose non stanno proprio così.

...continua

   —   ∴   —   

Intendiamoci, i termini generali di una posizione simile sono del tutto condivisibili (hai la sensazione di aver capito davvero proprio quando ti accorgi che le cose non potevano essere altrimenti) e non esiterei a sottoscriverli per il caso della Relatività Speciale (e del resto Einstein non era partito affatto dai risultati dell'esperimento di Michelson-Morley) e forse ancor di più per la Relatività Generale. Ed è anche vero, per citare la teoria dell'evoluzione menzionata da Aaronson, che sebbene Darwin giunse alla sua intuizione dopo un prolungato periodo di osservazione della fauna delle Galapagos, tuttavia non ebbe bisogno di appoggiarsi alla teoria di Mendel sull'ereditarietà dei caratteri nè di conoscere il dogma centrale della biologia moderna che impedisce ai caratteri acquisiti à la Lamark di essere trasmessi alle generazioni successive.

Ma il caso della meccanica quantistica, secondo me, è profondamente diverso, soprattutto se guardato dal punto di vista che propone Aaronson, quello della probabilità.

Il concetto di probabilità nasce in simbiosi con quello di frequenza e non ha senso parlare di probabilità negativa neanche in meccanica quantistica. La novità matematica alla base della meccanica quantistica che, si sostiene, avrebbe potuto essere "inventata" senza inbeccata sperimentale, non è alcun concetto di probabilità negativa (o addirittura complessa). La novità è uno spazio lineare (con prodotto interno, uno spazio di Hilbert) come substrato dello spazio di probabilità, da cui derivare, cioè, la distribuzione di probabilità stessa come una p-norma dei vettori di quello spazio. Ma questa idea non ha alcun carattere di necessità, una teoria della probabilità non ha alcun bisogno di ergersi su uno spazio lineare. E del resto la meccanica quantistica vede in tale spazio lineare la natura fisica del mondo, un modello di realtà che, tra le altre cose, presenta caratteri di aleatorietà da descrivere per mezzo di distribuzioni di probabilità del tutto "tradizionali" (reali e non-negative). E se invece dalle solite miscele statistiche siamo arrivati a dover maneggiare cose terribili come le sovrapposizioni coerenti e le violazioni delle disuguaglianze di Bell (cose che nessun filosofo che si fosse divertito a distinguere fra probabilità epistemica e non-epistemica avrebbe comunque mai potuto immaginare), è perchè abbiamo dovuto fronteggiare una nuova fisica, non perchè abbiamo scoperto nuove proprietà matematiche del concetto di probabilità.

Certo, una volta accettata l'idea di uno spazio lineare da cui derivare distribuzioni di probabilità, ci sono ragioni di consistenza intrinseca e naturalezza che conducono a nient'altro che una 2-norma su uno spazio di Hilbert su campo complesso. E per questo vale assolutamente la pena di leggere la lezione 9 di Aaronson. Ma pensare che, per questo, il mondo non poteva non realizzare altro che la teoria della meccanica quantistica, significa non rendersi conto che la meccanica quantistica non è una teoria della probabilità, ma una teoria che fa uso della teoria della probabilità.

Al di là della questione particolare sollevata da Aaronson, comunque, siamo ancora ben lontani da una comprensione della meccanica quantistica à la "non poteva che essere così!". Ma forse non è questione di comprensione quanto, banalmente, che non siamo ancora arrivati alla teoria che "non poteva che essere così!"...

parte 2

Quantum Gravity - 4 : guida alla lettura

Visto l'inaspettato successo della saga Quantum Gravity, provo a dare una risposta piu' articolata al commento di Franco, per ribadire che si tratta davvero (almeno per quanto riguarda i primi due capitoli che ho gia' divorato) di una lettura “per tutti”.

...continua

   —   ∴   —   

Innanzitutto non pensate di essere di fronte a un libro di Loop Quantum Gravity. Se volete, ha scritto anche quello (in forma di una living review...), ma li' non posso garantirvi facile lettura... Il fatto che in questo caso, invece, l'argomento sia piu' generale, fa si' che, almeno all'inizio, l'approccio sia meno tecnico, volto piu' a dare una visione d'insieme dello stato dell'arte.

Il primo capitolo lo e' di sicuro, e ve lo conferma il titolo (che mi piace tantissimo): General ideas and heuristic picture. E' diviso essenzialamente in due parti. Nella prima vi mette di fronte al problema (il connubio fra Relativita' Generale e Meccanica Quantistica) con un approccio storico/didattico, mettendo in evidenza gli aspetti concettuali delle due teorie e le conquiste intellettuali (piu' che matematiche e strettamente fisiche) che quelle stesse teorie hanno comportato. Ovviamente sono tutte considerazioni che trovano ampio spazio anche nella seconda parte, quella in cui introduce le motivazioni e le caratteristiche principali della sua soluzione alla gravita' quantistica, quella a loop.

Io personalmente ho sempre trovato le sue considerazioni estremamente solide e convincenti. Ne avevo letto per la prima volta tanto tempo fa in questa bellissima conversazione, che vi consiglio caldamente, a mo' di aperitivo o, se proprio non amate le letture pesanti, in sostituzione, al libro di cui sto parlando. E' un'agile e snella trascrizione di un dialogo, il che facilitera' ancora di piu' la lettura.

Dicevo che per quanto mi riguarda le sue argomentazioni sono inespugnabili, e se in futuro dovessimo scoprire che alla scala di Plank la gravita' non e' descritta dalla LQG, sara' solo per accidenti tecnici, o perche' avremo realizzato un ulteriore e ad ora inimmaginabile cambiamento di prospettiva. E comunque non sara' certo l'approccio delle Teorie di Stringhe − intrinsecamente fenomenologico − a dire l'ultima parola.

Ebbene, la forza enorme di quelle argomentazione potrete misurarla proprio nel secondo capitolo del libro, intitolato semplicemente − ambiziosamente − General Relativity. Qui, appunto, si parla solo della teoria di Einstein: non ci sono dispute su nessun punto, tutto e' unanimamente condiviso dalla comunita' dei fisici e vengono affrontate questioni che potrebbero benissimo essere argomento di una lezione del corso di laurea.

Eppure, seguendolo, scoprirete la Relativita' Generale come non l'avevate mai conosciuta.

Va bene, la prima parte del capitolo e' dedicata alle notazioni e ad un riassunto (un condensato!) della teoria, addirittura in numerose formulazioni differenti, piu' o meno equivalenti. Questa parte se volete potete anche saltarla, o leggerla − come ho fatto io − chiudendo gli occhi. Riapriteli un momentino soltanto al paragrafo 2.1.3, in cui introduce il concetto di invarianza di gauge nella formulazione di Dirac. E poi sul finire di questa prima parte del secondo capitolo (a pagina 33), subito dopo (o compreso!) l'ultimo paragrafetto scritto in piccolo sulla geometria di Riemann. Li' torna ad essere non tecnico (e vi avverte che potete saltare la seconda parte del capitolo 2 che segue... se siete interessati solo ai tecnicismi! ma e' chiaro che, al contrario, e' proprio quel che resta del capitolo 2 la parte piu' bella!!!).

Di quel che resta, essenzialmente, sapete gia' tutto (e quindi vi sarete gia' buttati a capofitto a leggere...).

Buon divertimento (e fatemi un bip, se vi e' piaciuto)!

Simmetrie in Fisica (Quantum Gravity - 3)

Le mie considerazioni precedenti, se volete, non sono tanto legate alla review, quanto in generale all'aria che si respira seguendo uno o l'altro lembo della Fisica.

Ma Rovelli ha un suo proprio valore aggiunto.

Vorrei fare un esempio preciso, fra i tanti casi di illuminazione in cui mi sono imbattuto leggendo le sue pagine: quello della (apparente) differenza fra simmetrie del linguaggio di una teoria (come le simmetrie di gauge) e simmetrie "reali" di un sistema fisico (come l'isotropia di un campo di forze centrali).

...continua

—   ∴   —

Ho sempre pensato che ci fosse una differenza sostanziale fra questi due tipi di simmetria.

Nel primo caso abbiamo quella che vorremmo definire una "simmetria da ridondanza descrittiva". L'esempio paradigmatico e piu' elementare lo si trova gia' nell'elettromagnetismo classico delle equazioni di Maxwell: per pura e semplice convenienza matematica (si fa per dire...) decidiamo di descrivere il campo elettromagnetico con un quadrivettore (il potenziale), ma i gradi di liberta' fisici, quelli davvero misurabili, sono un suo derivato, i campi elettrico e magnetico. Il fatto che a configurazioni di potenziale diverso corrispondano le medesime configurazioni di campo, conferisce alle equazioni un'invarianza (una simmetria) precisamente rispetto a quelle trasformazioni del potenziale che lasciano invariato il campo. Ma e' una specie di accidente matematico: se ci fossimo ostinati a usare solo quantita' fisicamente rilevanti, come i campi, non ci ritroveremmo con questo pleonasmo.

Ben diverso sembra(!) il secondo caso. Il fatto che la lagrangiana di un campo di forze centrale abbia una simmetria sferica, e' un fatto concreto e misurabile. Tant'e' che, presa una qualsiasi soluzione delle equazioni del moto, e' sufficiente ruotarla arbitrariamente per ottenere un'altra soluzione delle equazioni del moto. Esattamente l'opposto di quel che succede effettuando una trasformazione di gauge a un potenziale elettromagnetico, dove si sta semplicemente riscrivendo la stessa configurazione di campo.

Ora, tutto quel che ho detto credo sia convinzione diffusa fra i fisici. E' quello che ci insegnano ai corsi ed e' facile convincerci di cio'. I problemi cominciano a sorgere quando si tira in ballo il portentoso teorema della Noether, secondo cui a ogni simmetria continua della teoria corrisponde una carica conservata. Il problema e' che entrambi i tipi di simmetria che abbiamo considerato generano ciascuno la propria carica conservata. La simmetria sferica genera la conservazione della quantita' di moto, la simmetria di gauge elettromagnetica genera la conservazione della carica elettrica. E la cosa, ammetterete, puzza tremendamente.

Prima di leggere Rovelli, io ero fermo qui. Non capivo bene perche' le due simmetrie (una fittizia, di notazione matematica, l'altra reale, sperimentalmente misurabile) dovessero avere ripercussioni del tutto analoghe (e ben reali). E quando mi ponevo la questione, immaginavo che la risposta potesse nascondersi − indovinate un po'? − in qualche trucco quantistico del teorema della Noether.

E invece no. La soluzione al problema e' del tutto classica. E la soluzione al problema e' che non esiste alcuna differenza fra i due tipi di simmetria. Se volete, sono entrambe delle simmetrie di gauge, delle simmetrie della notazione matematica che stiamo usando. La (apparentemente) diversa soluzione delle equazioni del moto che troviamo ruotando la prima soluzione, e' in realta' la stessa soluzione, perche' in quale modo potremo mai distinguerle? Forse perche' hanno coordinate spaziali diversamente orientate? Ma cos'hanno mai di fisico, le coordinate, essendo nient'altro che una nostra convenzione di linguaggio?

Eppure, allo stesso tempo, sono delle simmetrie fisiche, reali: come altrimenti potrebbero essere legate ad una carica conservata reale e fisicamente misurabile?

La soluzione, insomma, sta in una piu' chiara comprensione del concetto stesso di simmetria.

—   ∴   —

Davvero non riusciro' mai ad esprimere la sensazione che ho provato. E' una di quelle cose per cui − da sola − vale la pena studiare fisica.

A quanto pare leggendo Rovelli, comprendere in questi termini la natura delle simmetrie (e in particolare della general covariance, la simmetria per diffemeorfismi di coordinate) fu il passo decisivo che condusse Einstein alla Teoria della Relativita' Generale.

Se appena potete, leggetevi il capitolo 2.2.4 (Active and passive diffeomorphisms) e 2.2.5 (General Covariance) della review di Rovelli. Ma tutto il capitolo 2.2 (The conceptual path to the theory) merita un'appassionata lettura.