16 October 2007

probabilità negative, ovvero: non poteva che essere meccanica quantistica

La Meccanica Quantistica è quello a cui si arriva inevitabilmente se si parte dalla teoria della probabilità e si prova poi a generalizzarla in maniera che i numeri che usualmente chiamiamo "probabilità" possano essere negativi. In questi termini, la teoria avrebbe potuto essere inventata dai matematici nel XIX secolo senza alcun input sperimentale. Non è stato così, ma avrebbe potuto essere.
Eppure, con tutte le strutture studiate dai matematici, nessuno di essi è giunto alla meccanica quantistica finchè l'esperimento non l'ha costretto.
Questa è una perfetta esemplificazione del perchè gli esperimenti sono importanti. Quasi sempre l'unico vero motivo per cui abbiamo bisogno degli esperimenti è che non siamo abbastanza acuti. Una volta effettuati gli esperimenti, se abbiamo imparato qualcosa che valeva la pena sapere, è — si spera — proprio il perchè non era necessario partire con un esperimento, perchè non avrebbe avuto senso che il mondo fosse altrimenti. Ma eravamo troppo ottusi per capirlo da soli!
Scott Aaronson, PHYS771, Lecture 9
(mia libera traduzione)
 
Mi sarebbe piaciuto condividere, ma in fondo le cose non stanno proprio così.
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Intendiamoci, i termini generali di una posizione simile sono del tutto condivisibili (hai la sensazione di aver capito davvero proprio quando ti accorgi che le cose non potevano essere altrimenti) e non esiterei a sottoscriverli per il caso della Relatività Speciale (e del resto Einstein non era partito affatto dai risultati dell'esperimento di Michelson-Morley) e forse ancor di più per la Relatività Generale. Ed è anche vero, per citare la teoria dell'evoluzione menzionata da Aaronson, che sebbene Darwin giunse alla sua intuizione dopo un prolungato periodo di osservazione della fauna delle Galapagos, tuttavia non ebbe bisogno di appoggiarsi alla teoria di Mendel sull'ereditarietà dei caratteri nè di conoscere il dogma centrale della biologia moderna che impedisce ai caratteri acquisiti à la Lamark di essere trasmessi alle generazioni successive.
Ma il caso della meccanica quantistica, secondo me, è profondamente diverso, soprattutto se guardato dal punto di vista che propone Aaronson, quello della probabilità.
Il concetto di probabilità nasce in simbiosi con quello di frequenza e non ha senso parlare di probabilità negativa neanche in meccanica quantistica. La novità matematica alla base della meccanica quantistica che, si sostiene, avrebbe potuto essere "inventata" senza inbeccata sperimentale, non è alcun concetto di probabilità negativa (o addirittura complessa). La novità è uno spazio lineare (con prodotto interno, uno spazio di Hilbert) come substrato dello spazio di probabilità, da cui derivare, cioè, la distribuzione di probabilità stessa come una p-norma dei vettori di quello spazio. Ma questa idea non ha alcun carattere di necessità, una teoria della probabilità non ha alcun bisogno di ergersi su uno spazio lineare. E del resto la meccanica quantistica vede in tale spazio lineare la natura fisica del mondo, un modello di realtà che, tra le altre cose, presenta caratteri di aleatorietà da descrivere per mezzo di distribuzioni di probabilità del tutto "tradizionali" (reali e non-negative). E se invece dalle solite miscele statistiche siamo arrivati a dover maneggiare cose terribili come le sovrapposizioni coerenti e le violazioni delle disuguaglianze di Bell (cose che nessun filosofo che si fosse divertito a distinguere fra probabilità epistemica e non-epistemica avrebbe comunque mai potuto immaginare), è perchè abbiamo dovuto fronteggiare una nuova fisica, non perchè abbiamo scoperto nuove proprietà matematiche del concetto di probabilità.
Certo, una volta accettata l'idea di uno spazio lineare da cui derivare distribuzioni di probabilità, ci sono ragioni di consistenza intrinseca e naturalezza che conducono a nient'altro che una 2-norma su uno spazio di Hilbert su campo complesso. E per questo vale assolutamente la pena di leggere la lezione 9 di Aaronson. Ma pensare che, per questo, il mondo non poteva non realizzare altro che la teoria della meccanica quantistica, significa non rendersi conto che la meccanica quantistica non è una teoria della probabilità, ma una teoria che fa uso della teoria della probabilità.
Al di là della questione particolare sollevata da Aaronson, comunque, siamo ancora ben lontani da una comprensione della meccanica quantistica à la "non poteva che essere così!". Ma forse non è questione di comprensione quanto, banalmente, che non siamo ancora arrivati alla teoria che "non poteva che essere così!"...

5 comments:

Lap(l)aciano said...

ad essere pedanti, la well-formed formula

"una 2-norma su uno spazio di Hilbert su campo complesso"

è un po' strana, dato che non ci sono altre norme su uno spazio di Hilbert. cioè: la 2-norma è la norma dello spazio di Hilbert.

hronir said...

Hai ragione, una p-norma con p diverso da 2 non deriva da un prodotto scalare, e per la meccanica quantistica (e per definizione in uno spazio di Hilbert, come fai giustamente notare) è essenziale il prodotto scalare piu' che la norma...
Ora che mi ci fai pensare, in effetti, questa è un'altra delle "pecche" dei ragionamenti di Aaronson, quello di puntare tutto e solo sulle p-norme (e sottolineare la peculiarità del caso p=2), mentre la cosa diventa "ovviamente naturale" se si guarda al prodotto scalare più che alla norma...
A questo punto la domanda "esistenziale" diventa la domanda classica del perche' la meccanica quantistica vuole uno spazio di Hilbert complesso invece che uno reale... ma, per tornare al tema del mio post, siamo comunque fuori da una presunta generalizzazione del concetto di probabilità.

Lap(l)aciano said...

la tua domanda è interessante. l'unica riposta che mi viene in mente è quella del mio prof, che dice sempre che una teoria spettrale sensata si può fare su uno spazio di hilbert complesso (ed è anche comprensibile perchè). quindi mi sembra che la ragione sia da un lato brutalmente pratica, cioè la necessità di avere a disposizione una teoria spettrale senza la quale si sarebbe costretti ad analizzare l'equazione di schrödinger dipendente dal tempo, e dall'altro raffinatamente teorica, cioè che non ci sono teoremi utili di teoria spettrale per spazi di hilbert reali.

tomate said...

Non capisco cosa intende Aaronson per probabilità negative. Intende funzioni d'onda a valori complessi?

hronir said...

Sì, esatto: intende le ampiezze di probabilità.