Probabilità negative 2: dalla probabilità ad uno spazio lineare (e poi daccapo)

Riprendo il discorso da dove l'avevo lasciato, qui, sulla lezione 9 di Aaronson.

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Il percorso ingannevole parte con la rimozione della condizione di normalizzazione per una distribuzione di probabilità. Poiche' tale condizione si traduce semplicemente in un riscalamento complessivo di tutte le probabilità con un fattore costante globale, univocamente determinato dalla distribuzione stessa, si puo' sempre pensare di procedere senza questo vincolo e riapplicarlo solo alla fine quando bisogna confrontare le probabilità con le effettive frequenze misurate sperimentalmente. Del resto il concetto di probabilità nasce proprio come frequenze normalizzate, le frequenze essendo semplicemente non-negative.
 

Se si procede a questa sorta di semplificazione o di generalizzazione del concetto di probabilità, una distribuzione di probabilità si trasforma da combinazione lineare convessa a combinazione lineare non-negativa, sui possibili esiti. Da qui a chiedere di rimuovere anche il vincolo di non-negativita' delle componenti, fino ad ottenere un vero e proprio spazio lineare di probabilità, il passo e' breve (almeno per Aaronson).

Si noti, però, che il carattere di spazio lineare è del tutto innaturale per uno spazio di probabilità: le distribuzioni di probabilità non si sommano fra di loro nè si fanno combinazioni lineari. La mossa verso uno spazio lineare, in questo ragionamento, è una mossa dettata completamente a posteriori dal fatto che uno spazio lineare sarà la base della meccanica quantistica (gli stati fisici, quelli sì, si sommano, ovvero si sovrappongono).
 

Le ampiezze complesse della meccanica quantistica sono legate al suo carattere probabilistico e "somigliano" alle probabilità stesse, ma il loro carattere lineare è completamente estraneo al tradizionale concetto di probabilità. Il passaggio presuppone, dunque, non solo un'estensione di dominio (da reale-non-negativo a complesso) ma un vero e proprio salto di struttura matematica. E' diffile accettare questo salto semplicemente come una "naturale generalizzazione" piuttosto che come un'analogia forzata.
 

Ma torniamo a questa presunta generalizzazione. In ogni caso queste componenti della combinazione lineare (non piu' non-negativa ne' convessa) non possono piu' essere interpretate direttamente come probabilità, ovvero messe a diretto confronto con le frequenze misurate sperimentalmente. Allora si decide di ricostruire una distribuzione di probabilità tramite un meccanismo di ri-non-negativizzazione (l'applicazione del modulo-quadro) di quelle componenti e, risalendo a ritroso, di ri-normalizzazione. E arriviamo dunque ad una 2-norma del vettore dello spazio lineare precedentemente costruito.
 

E' chiaro che tale procedimento, partito in qualche modo come semplificazione per il calcolo matematico (l'applicazione di un vincolo solo in fase finale) e dunque di carattere del tutto arbitrario e convenzionale, finisce per originare una struttura del tutto nuova (lo spazio lineare delle ampiezze) su cui imbastire uno spazio di probabilità esattamente identico a quello che si intendeva semplificare e/o generalizzare (fatto di componenti non-negative e normalizzate, il modulo quadro di quelle ampiezze).
 

Insomma, il concetto di probabilità non viene in alcun modo generalizzato (si tratta sempre di un'astrazione del limite per delle frequenze misurate sperimentalmente), ma semplicemente innestato su un substrato di spazio lineare che pretende di costituire il fondamento per l'evoluzione temporale e la combinazione di quelle distribuzioni di probabilità. Ovvero, pretende di costituire la fisica che soggiacie alle probabilità misurate sperimentalmente, esattamente come la fisica classica costituiva il substrato fisico per le distribuzioni di probabilità sperimentali, prima dell'analisi dei fenomeni atomici e microscopici. Con l'avvento della meccanica quantistica ci si è resi conto che le distribuzioni di probabilità sperimentalmente misurate (le distribuzioni di frequenze) devono essere descritte con un formalismo basato su uno spazio lineare. Ci si è poi resi conto che questa nuova fisica "lineare" aveva proprietà molto strane rispetto a qualsiasi cosa si fosse abituati (entanglment, disuguaglianze di Bell) e che fosse intrinsecamente probabilistica (differenza fra miscele statistiche e sovrapposizioni coerenti).
 

Ma tutto ciò ha a che fare con la fisica, non con la probabilità.

probabilità negative, ovvero: non poteva che essere meccanica quantistica

— La Meccanica Quantistica è quello a cui si arriva inevitabilmente se si parte dalla teoria della probabilità e si prova poi a generalizzarla in maniera che i numeri che usualmente chiamiamo "probabilità" possano essere negativi. In questi termini, la teoria avrebbe potuto essere inventata dai matematici nel XIX secolo senza alcun input sperimentale. Non è stato così, ma avrebbe potuto essere.

— Eppure, con tutte le strutture studiate dai matematici, nessuno di essi è giunto alla meccanica quantistica finchè l'esperimento non l'ha costretto.

— Questa è una perfetta esemplificazione del perchè gli esperimenti sono importanti. Quasi sempre l'unico vero motivo per cui abbiamo bisogno degli esperimenti è che non siamo abbastanza acuti. Una volta effettuati gli esperimenti, se abbiamo imparato qualcosa che valeva la pena sapere, è — si spera — proprio il perchè non era necessario partire con un esperimento, perchè non avrebbe avuto senso che il mondo fosse altrimenti. Ma eravamo troppo ottusi per capirlo da soli!

Scott Aaronson, PHYS771, Lecture 9
(mia libera traduzione)

 

Mi sarebbe piaciuto condividere, ma in fondo le cose non stanno proprio così.

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Intendiamoci, i termini generali di una posizione simile sono del tutto condivisibili (hai la sensazione di aver capito davvero proprio quando ti accorgi che le cose non potevano essere altrimenti) e non esiterei a sottoscriverli per il caso della Relatività Speciale (e del resto Einstein non era partito affatto dai risultati dell'esperimento di Michelson-Morley) e forse ancor di più per la Relatività Generale. Ed è anche vero, per citare la teoria dell'evoluzione menzionata da Aaronson, che sebbene Darwin giunse alla sua intuizione dopo un prolungato periodo di osservazione della fauna delle Galapagos, tuttavia non ebbe bisogno di appoggiarsi alla teoria di Mendel sull'ereditarietà dei caratteri nè di conoscere il dogma centrale della biologia moderna che impedisce ai caratteri acquisiti à la Lamark di essere trasmessi alle generazioni successive.

Ma il caso della meccanica quantistica, secondo me, è profondamente diverso, soprattutto se guardato dal punto di vista che propone Aaronson, quello della probabilità.

Il concetto di probabilità nasce in simbiosi con quello di frequenza e non ha senso parlare di probabilità negativa neanche in meccanica quantistica. La novità matematica alla base della meccanica quantistica che, si sostiene, avrebbe potuto essere "inventata" senza inbeccata sperimentale, non è alcun concetto di probabilità negativa (o addirittura complessa). La novità è uno spazio lineare (con prodotto interno, uno spazio di Hilbert) come substrato dello spazio di probabilità, da cui derivare, cioè, la distribuzione di probabilità stessa come una p-norma dei vettori di quello spazio. Ma questa idea non ha alcun carattere di necessità, una teoria della probabilità non ha alcun bisogno di ergersi su uno spazio lineare. E del resto la meccanica quantistica vede in tale spazio lineare la natura fisica del mondo, un modello di realtà che, tra le altre cose, presenta caratteri di aleatorietà da descrivere per mezzo di distribuzioni di probabilità del tutto "tradizionali" (reali e non-negative). E se invece dalle solite miscele statistiche siamo arrivati a dover maneggiare cose terribili come le sovrapposizioni coerenti e le violazioni delle disuguaglianze di Bell (cose che nessun filosofo che si fosse divertito a distinguere fra probabilità epistemica e non-epistemica avrebbe comunque mai potuto immaginare), è perchè abbiamo dovuto fronteggiare una nuova fisica, non perchè abbiamo scoperto nuove proprietà matematiche del concetto di probabilità.

Certo, una volta accettata l'idea di uno spazio lineare da cui derivare distribuzioni di probabilità, ci sono ragioni di consistenza intrinseca e naturalezza che conducono a nient'altro che una 2-norma su uno spazio di Hilbert su campo complesso. E per questo vale assolutamente la pena di leggere la lezione 9 di Aaronson. Ma pensare che, per questo, il mondo non poteva non realizzare altro che la teoria della meccanica quantistica, significa non rendersi conto che la meccanica quantistica non è una teoria della probabilità, ma una teoria che fa uso della teoria della probabilità.

Al di là della questione particolare sollevata da Aaronson, comunque, siamo ancora ben lontani da una comprensione della meccanica quantistica à la "non poteva che essere così!". Ma forse non è questione di comprensione quanto, banalmente, che non siamo ancora arrivati alla teoria che "non poteva che essere così!"...

parte 2