Un esercizio e la sua soluzione

Un professore di logica non riesce a trovare un bell'esercizio finale per l'ultimo compito del suo corso.

Alla fine si decide e mette questo semplice esercizio di una sola riga:

Scrivi un esercizio che pensi possa essere adatto per questo esame e risolvilo.

Quando in seguito corregge i compiti, trova che — proprio sotto il testo del suo esercizio finale — uno dei suoi studenti ha scritto le due righe seguenti:

Scrivi un esercizio che pensi possa essere adatto per questo esame e risolvilo.

Scrivi un esercizio che pensi possa essere adatto per questo esame e risolvilo.

A questo punto la domanda è: è corretta, come risposta? Se non lo è, sai modificarla in maniera che lo diventi?

Oh, magari c'è più di una risposta corretta...

Liberamente tratto da uno dei problemi distribuiti ai suoi studenti da Guido Osimo, docente di Matematica Generale e Matematica Applicata in Bocconi (e già mio prof di mate al liceo!), a sua volta ispirato da... Martin Gardner? Hofstadter?

Quine - 3

Quine riesce a smontare e ricostruire con parti migliori la nave, rimanendo in mare aperto.
Quine Fact n. 1
 

No, no, purtroppo non entreremo ancora in medias res: questo è semplicemente un altro post con cui, per la gioia di delio, cerco solo di tirarla per le lunghe.

Il fatto è che cercare di spiegare Quine è davvero difficile per una sorta di paradosso di fondo che caratterizza le sue conquiste.

Da una parte, infatti, quella di Quine è una concezione filosofica sistematica, che punta alla costruzione di un grande sistema omnicomprensivo della realtà. Questo è un aspetto che, personalmente, trovo molto seducente perchè, fin "da piccolo", l'ho sempre considerato come il tratto distintivo della filosofia: cercare risposte a singoli problemi è il ruolo che, da quattro secoli a questa parte ormai, si è ritagliato la scienza; ricomporre quelle risposte in un quadro organico e complessivo era sempre stato per me quasi la "definizione" di filosofia e comunque ne costituiva il vero valore aggiunto.

Dall'altra, però, delle tesi di Quine manca una (sua) "esposizione" altrettanto sistematica, organica e strutturata. Man mano che si scopre Quine ci si ritrova con una fitta rete di vere e proprie scoperte che pian piano delineano la trama complessiva in maniera graduale e olistica; e se, alla fine, si prova a fare un po' di ordine mentale (come sto provando a fare in questi giorni), ci si rende conto che non c'è un percorso di costruzione lineare: le sue tesi in qualche modo si implicano l'un l'altra e il suo naturalismo epistemologico è contemporaneamente un metodo e il risultato della sua stessa applcazione.

 

Faccio fatica anche a suggerire una bibliografia, se deve essere introduttiva e divulgativa (soprattutto se mi lascio deprimere dai paragoni con le facili e apparentemente avvincenti divulgazioni di Popper, Kuhn e Lakatos...)

Le opere di Quine sono sempre molto difficili, molto tecniche (non dimentichiamoci che, prima che filosofo, Quine è un logico), spesso prendono di mira un problema particolare (anche se poi i riferimenti e le implicazioni sono vastissime) e certamente sono tutt'altro che divulgative. Anche il già citato Dallo stimolo alla scienza, che dal titolo sembrerebbe proprio un compendio della sua visione epistemologica, è in realtà, sì, proprio un compendio, ovvero un condensato, una densissima ricapitolazione della sua visione che però, in pratica, presuppone già una più che discreta conoscenza dei temi trattati e comunque manca di vere e proprie argomentazioni. E, nonostante le apparenze, non è un libro di divulgazione (si dà per scontata tutta la logica contemporanea e si usa ripetutamente la sua sintassi gergale senza spiegarla o esemplificarla — e che non crediate che io riesca a coglierne tutti i dettagli...!)

Di opere su Quine ho letto solo la bellissima introduzione della Origgi: anch'essa può considerarsi un compendio delle idee di Quine, con il vantaggio, però, di offrire molte più spiegazioni e argomentazioni. Anche in questo caso è difficile considerarla una leggera lettura da comodino (o forse sì, ma in un altro senso...).

A voler cercare qualcosa di più accessibile (ma forse qui sono falsato dal mio curriculum di studi), si potrebbero leggere i saggi di Bellone, da considerare come altri libri su Quine, almeno indirettamente. Il loro grande vantaggio, dal punto di vista di un avvicinamento a Quine, è quello di non averlo come obiettivo principale, ma di riuscire a "somministrarlo" gradualmente, per osmosi, occupandosi di altro col "metodo" Quine. Questo "altro" è la fisica nel suo sviluppo storico, per questo dicevo che forse il mio giudizio di maggior semplicità di lettura non è valido in generale; ma fra i ventun lettori di questo blog una buona parte sono fisici, per cui il consiglio non è del tutto insensato.

Se fossi a digiuno tanto di Quine quanto di Bellone, non partirei con i suoi ultimi libri, come Molte nature o I corpi e le cose, in cui prevale un tentativo di argomentare per vie generali su prospettive ampie. Partirei con i classici (e bellissimi) Il mondo di carta o I nomi del tempo o Spazio e tempo nella nuova scienza o La stella nuova — che belli, questi titoli, non trovate? — (Saggio naturalistico sulla conoscenza credo rientri nella prima cateogira...). Scoprirete, fra l'altro, com'è possibile leggere un libro affascinate e soprattutto profondo, molto profondo, sulla fisica, anche senza tuffarsi negli esoticissimi e coloratissimi mari tropicali della relatività di Einstein o della meccanica quantistica. Devo anche avvertirvi di non aspettarvi i classici libri di storia della fisica, chessò, à la Trent'anni che sconvolsero la fisica (pur bellissimo, non fraintendetemi). Non difficile come lo stesso Quine, ma certamente anche Bellone resta una lettura impegnativa. E se il vostro obiettivo resta Quine, una sola "seduta" di Bellone potrebbe non bastare.

Ma insomma, se belli volete apparire... :)

Quine - 1+2i

In attesa di un reale post su Quine, faccio seguito al thread su una sua ipotetica sottoscrizione "letterale" dell'affermazione di Arnold secondo cui anche la matematica sarebbe, in fondo, una scienza "empirica".

Non ho tempo ma soprattutto capacità di difendere, qui e ora, nessuna delle due tesi — quella sulla matematica, e il fatto che Quine la sottoscriverebbe. Mi limito, forse più per giustificare la seconda che per convincervi della prima, a citare Quine stesso, da un passo di uno dei suoi ultimi libri. Includo una premessa, per contestualizzare:

[Definendo questa formalizzazione di somma e prodotto] mediante '∈', in uno qualsiasi dei modi conosciuti possiamo immergere questo linguaggio chiuso in un altro linguaggio formalizzato che ha come unico predicato la stessa '∈', e che comprende l'intera matematica classica. Naturalmente, esistono innumerevoli linguaggi formalizzati estranei alla matematica classica; un esempio banale è quello di parentela, i cui predicati sono 'F' (femmina), a un posto, e 'G' (genitore), a due posti. [...] Tipiche verità espresse in questo linguaggio sono: che le relazioni di fratello, coniuge e cugino sono simmetriche, che quella di genitore è asimmetrica, che quello di fratello germano è transitiva. Pur essendo estranea alla matematica, la teoria della parentela, nel suo modo banale, ne conserva chiaramente il sapore, e io non esito a farvela rientrare.

Tuttavia non si può dire che la nozione di "linguaggio formalizzato" catturi, per sè sola, l'essenza della matematica. Le cose che ci fanno sentire (forse) un sapore di matematica sono il numero limitato di predicati primitivi e la valorizzazione della costruzione logica che ne consegue; forse la matematicità è una questione di grado. In ogni caso, io non ho un criterio di demarcazione da proporre: il fatto che le variabili della matematica classica prendano come valori oggetti astratti, mentre quelli della teoria della parentela prendono esseri umani o altri animali non costituisce una differenza significativa; dopotutto la stessa '∈' ha alla sua base, come argomenti primi, oggetti concreti.

ma il passo più succoso è quello che segue immediatamente:

Se liberiamo la geometria dal letto di Procuste della teoria astratta delle relazioni e la reintegriamo nella sua condizione originaria, quella dei tempi di Euclide, essa non rientrerà più nel linguaggio formalizzato basato su '∈', e diverrà un linguaggio formalizzato a se stante, nonchè un analogo (sostanzioso e venerabile) della mia banale teoria della parentela: i suoi predicati torneranno a denotare superfici, curve e punti dello spazio reale. La geometria, come la teoria della parentela, è una matematica con un oggetto marcatamente empirico. Ciò che ha finito per esiliarla nel limbo delle matematiche non interpretate è l'anomalia logica del postulato euclideo delle parallele, la sua resistenza alla deduzione dagli altri postulati, più semplici. Questa circostanza ha stimolato l'esplorazione di postulati alternativi, quelli delle geometrie non euclidee, e a lungo andare anche l'esplorazione dello sterminato dominio dei sistemi non interpretati, o algebre astratte.

Se ancora conserva il suo vecchio statuto di teoria matematica dotata di un oggetto, la geometria euclidea lo ha perduto nel momento in cui Albert Einstein ha stabilito che lo spazio stesso, definito dai percorsi dei raggi luminosi, non è euclideo. Si deve inoltre ricordare che, al di là del caso della geometria, la de-interpretazione già svolgeva un ruolo indispensabile nella teoria della dimostrazione, e forse ciò ha avuto l'effetto di esagerare la frattura, grande o piccola, che si avvertiva tra la matematica e il resto della scienza.

Ovviamente, la matematica non interpretata è non solo priva di contenuto empirico, ma anche estranea a ogni problema di verità e falsità. La disciplina che tratta questi sistemi non interpretati, e quindi le algebre astratte, fa invece parte della teoria delle relazioni; quindi è matematica interpretata, e rientra nella teoria degli insiemi.

Dallostimolo alla scienza, capitolo 5 Logica e Matematica.