17 March 2009

Quine + |Zurek>

Sto cominciando a giocare troppo coi titoli, eh? Effettivamente l'unico riferimento a Quine questa volta riguarda la giustificazione sul perchè questo post non parla di Quine. E la giustificazione è che Clodovendro mi ha distratto dalla mia priorità di conquistare il mondo di divulgare Quine, tentandomi con le sirene delle interpretazioni della meccanica quantistica. Già lo so che sarà la solita bella senz'anima, come tutte, ma, come tutte, l'idea è stuzzichevole e vien voglia di approfondire un po'.
Questa volta è il turno di Zurek e del suo darwinismo quantistico (esatto: si cita Charles nel nome, se ne poteva non parlare anche per Prgetto Darwin su Progetto Galileo?). Dalla breve review segnalatami da Clodovendro non ci ho capito molto, ma del resto il terreno mi franava sotto i piedi a sentir parlare di decoherence e profondi abissi mi si spalancavano davanti ad einselection ed envariance (termini per me fino a quel momento sconosciuti...).
Così, invece di lavorare per voi su Quine, mi sono spulciato la bibliografia, mi sono scaricato una review un po' più corposa e nel week-end mi sono dato alla lettura, nella speranza di capirci qualcosina in più.
Il risultato (ma non ho ancora finito di leggere quest'ultimo articolo) non è che ora ho le idee più chiare, ma è che ora voi vi beccate due belle domandine in bottiglia che lancio nell'etere digitale.

   —   ∴   —   
 
La prima domanda è forse la più tecnica delle due, per cui la lascio per seconda, altrimenti quasi tutti si fermeranno subito e non proseguiranno a leggere la seconda, che pertanto esporrò per prima.
 
La seconda domanda, dunque, rappresenta, o almeno così mi par di capire, il punto centrale dell'idea di Zurek. Uno dei tanti modi di raccontare il problema della meccanica quantistica di cui, da quasi un secolo ormai, si cerca di venire a capo, è sottolineare l'irriducibile stridore fra i suoi postulati "matematici" da una parte (stati come raggi di vettori in spazi di Hilbert ed evoluzione unitaria, lineare e deterministica) e dall'altra quelli "di misura" (la legge di Born sulla probabilità e il fantomatico collasso della funzione d'onda). Ebbene, l'approccio di Zurek è quello di provare a partire dai primi e dedurre come loro "ovvia" conseguenza i secondi. L'approccio, sempre per quel che capisco, non è "fondazionale": non pretende di fornire esplicitamente un'espressione puramente quantistica per l'interazione sistema-apparato da cui dedurre "matematicamente" (nel senso di sopra) il collasso della ψ dall'equazione di Schroedinger. Piuttosto Zurek parte dall'assunzione che un'interazione di questo tipo esista, e prova a studiarne alcune sue caratterische.
Zurek parte dunque mettendo sullo stesso piano "quantistico" tanto il sistema, descritto dallo stato , quanto l'apparato di misura, l'ambiente con cui il sistema interagisce, descritto anch'esso da uno stato quantistico . Ebbene, l'assunzione fondamentale di Zurek è che l'interazione () che ha luogo durante una misura sia di questo tipo: (M)
0 = k skk0    k skkk
Zurek assume, cioè, che esistano degli stati k del sistema che restano invariati durante la misura e che, di più, lasciano un loro "imprinting" nell'ambiente, il quale a seguito dell'interazione modifica il suo stato da 0 a una sovrapposizione di k ciascuno dei quali "si porta dietro l'informazione" sulla componente k dello stato .
Tale assunzione di Zurek, se è davvero nei termini che ho esposto, sembra chiaramente molto forte. Non so abbastanza di decoherence, magari esistono degli esempi di decoerenza che possono essere modellizzati in questo modo (magari proverò a chiedere al mio amico Dragon Ball...), ma è certo che deve trattarsi di una qualche modellizzazione efficace (nel senso tecnico di effective) perchè la linearità dell'evoluzione unitaria mi pare che proibisca un'evoluzione come quella scritta sopra (può benissimo essere che mi sia arrugginito molto a non far più fisica, in tal caso fatemelo notare nei commenti!).
L'obiezione a questa mia obiezione è che l'intento di Zurek è proprio quello di spiegare il collasso della funzione d'onda, ed è quindi ovvio che da qualche parte debba forzare la meccanica quantistica "classica". Se posso fare un appunto, però, mi sembra che nei suoi articoli non si evidenzi abbastanza che dietro questa assunzione si celi la presunta "spiegazione" del collasso e che si tratta di un'assunzione "non standard" (ed è per questo che ho il forte sospetto che sia io a non aver capito qualcosa...)
Il resto delle argomentazioni di Zurek, fatto questo passo, diventano concettualmente semplici, o almeno è possibile riassumerle brevemente e "senza formule". Quel che Zurek dimostrerebbe è che gli stati k che soddisfano la condizione (M) devono necessariamente costituire una base ortonormale, ovvero devono essere autostati di un operatore autoaggiunto. La cosa, cioè, sarebbe la spiegazione del fatto che i risultati di una misura possono essere solo autostati di un simile operatore (ci tengo a dire che non sono riuscito affatto a seguire nei dettagli tali ulteriori passaggi e che il riassunto di sopra rappresenta quasi sicuramente una semplificazione eccessiva).
 
E la regola di Born sulle probabilità? Per quello è sufficiente invocare l'envariance, altrimenti nota come environment assisted invariance — e non potendo linkare wikipedia, mi tocca linkare da arxiv... — e il gioco è fatto. O così almeno crede Zurek. Perchè io, proprio a questo proposito, avrei giusto la mia prima domandina in bottiglia che attende.
 
Come dicevo, questa domanda è ancora più tecnica della precedente (mi perdonino i lettori a digiuno di fisica). Detto in parole semplici (e così l'anima pia vagante che vorrà provare a rispondermi potrà puntare il dito sul punto preciso in cui non ho capito... JB sei in ascolto?) si tratterebbe della possibilità di poter cambiare arbitrariamente le relazioni di fase φ(k) fra le ampiezze sk nel generico stato  = k skk di un sistema:
 → k eιφ(k)skk
forti del fatto di poterle poi "annullare" nel sistema "ambiente" con cui il sistema è accoppiato:
 → k e-ιφ(k)k 
Ora sicuramente c'è qualcosa di banale che non ho capito, perchè uno degli insegnamenti basilari che mi sono rimasti della meccanica quantistica è prorpio quello che la fase irrilevante è solo quella overall, mentre le fasi relative non solo sono rilevabili, ma sono anche rilevanti, com'è proprio il caso paradigmatico della particella libera a una dimensione: lì le fasi relative fra le ampiezze nelle |x rappresentano proprio il momento della particella: cambiare quelle fasi significa cambiare la distribuzione dei momenti della particella. Di più: non è possibile scegliere arbitrariamente quelle fasi e preparare, ad esempio, uno stato gaussiano strettamente reale nelle |x (ossia  = x sx|x con tutti i coefficienti sx con parte immaginaria nulla), perchè violerebbe il principio di indeterminazione! Pensare di effettuare una trasformazione del genere non una (solo sulla ) ma addirittura due volte (anche sull'ambiente ) senza che questo modifichi la fisica dei due sistemi, non mi sembra possibile: cos'ha in mente, dunque, Zurek?!?
 
Insomma, questa volta, prima di potermi abbandonare alla delusione dell'ennesimo vano tentativo di interpretazione per la meccanica quantistica... vorrei almeno prima capirlo! :)

6 comments:

Marco F said...

??????????

Marco

delio said...

probabilmente a te non interessa, ma appena ho visto quine nel titolo ho smesso di leggere il feed. ho per venire a scrivere il commento che troverai qui sotto, e solo casualmente mi sono accorto dei buoni vecchi braket nel testo dell'articolo, al che ho deciso di ricominciare a leggere. insomma, basta con quine.

detto questo, il commento era: non è che - per favore - apriresti un bel blog con dei quine facts, tipo 'quine riesce a far accettare l'incommensurabilità di \sqrt{2} a pitagora quando gli pare e piace', e così smetti di postare le quinerie su questo, un tempo rispettabile, bel blog di fisica? grazie, eh.

hronir said...

Eh, perdonami Marco, questa volta sono andato molto nel tecnico... :)

delio, mi piace l'idea dei Quine Facts! :)
Quanto al resto, purtroppo questo non è mai stato un blog di fisica, ma solo un blog personale (e il fatto che non il blog ma io, ormai solo come categoria dello spirito, sia un fisico, può essere considerato un tratto caratteristico, non una prerogativa). Il fatto è che non riuscirei a trovare il tempo per mantenere un vero blog di fisica.
Ma questo può essere un vantaggio: posto così raramente che non sarà certo un problema di spam, per te, fare mark as read su qualche mia entry quiniana nel tuo reader (anche se la cosa, detto sinceramente, mi spiacerebbe un po').

Ah, delio, senti: visto che siamo in tema di richieste per il blog: sei riuscito o no a riabilitare i commenti su pubblicodimerda? grazie, eh.

PS
Visto che ti sono piaciuti i ket, non hai nessun commento nel merito del post?

J_B said...

Ciao
Dato che, in perfetto stile mago pancione, son stato invocato tramite starnuto cercherò di rispondere nel limite delle mie competenze (e del tempo a disposizione nonché dello spazio disponibile per un commento su un blog ;-) ).

Parto premettendo che, secondo me, le tue due domande in realtà sono una domanda sola, ovvero originano dalla stessa incomprensione (che spero di riuscire a chiarire nel seguito). L'assunto che un sistema quantistico interagisca in maniera quantistica con l'ambiente non ha nulla di speciale. Anzi, se vogliamo è piuttosto ovvia. L'unica difficoltà è descrivere questa interazione perché coinvolge una quantità enorme di corpi e quindi l'hamiltoniana del sistema diventerebbe complicatissima. Se dividiamo l'universo in due e mettiamo da una parte il sistema che stiamo studiando (d'ora in poi semplicemente "il sistema") e dall'altro tutto il resto dell'universo (d'ora in poi"l'ambiente") possiamo immaginarci tre situazioni possibili:
1) il sistema e l'ambiente non interagiscono la loro interazione è titalmente trascurabile. Questo è il classico caso da "particella libera" tanto caro ai libri di testo ma scarsamente rilevante quando si parla di mondo reale.
2) il sistema e l'ambiente interagiscono in maniera così forte che dividerli in due entità separate è uno sterile esercizio di matematica.
3) il sistema e l'ambiente interagiscono abbastanza ma non troppo. In questo caso posso ragionevolmente pensare di studiare il mio sistema e vedere come viene influenzato dall'ambiente.
Ovviamente a noi interessa solo il terzo caso.
Il postulato della proiezione (che è la vera bestia nera di ogni tentativo di interpretare la meccanica quantistica) mi dice che, quando io misuro il mio sistema, misurerò sempre un autostato dell'operatore che rappresenta la grandezza misurata. Questo fatto non ha nessuna buona spiegazione dato che il sistema sarà sempre in una sovrapposizione degli autostati possibili e, soprattutto, è in netto contrasto con quello che ci aspetteremmo classicamente. Tuttavia, come abbiamo appena detto, il nostro sistema non vive isolato in stile monade ma interagisce in continuazione con l'ambiente. Ora i vari possibili autostati del sistema interagiranno ciascuno in maniera diversa con l'ambiente (l'operatore di evoluzione dipende dallo stato); immaginiamo un atomo che possa essere in due diversi livelli energetici, ciascuna delle due possibilità avrà il suo bravo operatore unitario di evoluzione e quindi evolverà per conto proprio. Dopo un certo tempo i due autostati non avranno più una relazione di fase ben definita (evoluzione unitaria non vuol dire banalmente e^{i omega t}) e quindi non potranno più interferire l'uno con l'altro. Si dice che hanno subito una "decoerenza" e questo spiega perché i vari autostati del sistema vengano misurati indipendentemente e non si trovi mai una loro sovrapposizione (e questo dovrebbe anche chiarire la prima delle tue domande, che poi è la seconda che hai esposto).
Fin qui in realtà di farina del sacco di Zurek ce n'è pochissima, si tratta di normalissima e ampiamente accettata teoria della decoerenza. Zurek interviene domandandosi perché nella vita di tutti i giorni (ovvero nel mondo della fisica classica) io non possa misurare "l'uno o l'altro" dei possibili autostati ma esista il concetto di "stato del sistema" al singolare. In pratica si chiede come avviene il passaggio dal mondo quantistico a quello classico. L'idea di Zurek è che noi non stiamo mai veramente misurando il sistema quantistico ma solo frazioni più o meno corpose dell'ambiente. Il sistema interagisce con l'ambiente, il sistema perturba l'ambiente, noi misuriamo queste perturbazioni e ci facciamo un'idea di cosa sta facendo il sistema. Per chi ha un minimo di esperienza di laboratorio questo approccio dovrebbe apparire subito abbastanza ovvio. Non tutti gli stati del sistema però avranno la stessa probabilità di essere individuati dal nostro cercare a casaccio nell'ambiente. Quello che dimostra Zurek (non mi chiedete di riscrivere i dettagli della dimostrazione, non ne sarei in grado) è che gli unici stati capaci di lasciare nell'ambiente una traccia abbastanza profonda e duratura da essere trovati da noi prima di svanire nel rumore di fondo (le interazioni dell'ambiente con se stesso sono così complesse che si possono visualizzare come un bagno termodinamico che trasforma la nostra informazione in entropia indistinguibile da tutto il resto) non sono gli autostati del sistema ma una loro combinazione (e qui credo stia il punto fondamentale dei tuoi dubbi). In pratica sopravvivono abbastanza per essere misurati e diventare "reali" solo quelli noti come "pointer state", ovvero quegli stati (non autostati, si badi bene) per i quali l'aumento dell'entropia (di von Neumann) è minima. Questi sono gli unici stati che il nostro osservare l'ambiente è in grado di individuare e, guarda caso, si tratta proprio degli stati classici.
Zurek prende quindi la teoria della decoherence (che, tra le altre, ha contribuito a mettere a punto con i suoi studi sulla einselection), il no-cloning theorem (che vieta di replicare nell'ambiente esattamente uno stato quantistico e che è anch'esso farina del suo sacco) ed un po' di ragionamenti sull'interazione sistema-ambiente e tira fuori dal cilindro un modello dove non solo il postulato della proiezione diventa un teorema, ma dove il mondo classico emerge in maniera naturale dall'atto stesso di misurare il mondo quantistico.

uff, spero di essere stato chiaro e on-topic sulle domande :-) Delio mi scuserà se non ho usato bra e ket ma in html secondo me sono illeggibili ;-)

hronir said...

Mumble mumble...

<short-reply>
Ciò di cui mi hai convinto è che devo darmi una ripassata (grosso eufemismo) alla teoria della decoherence.
</short-reply>

<long-reply target="JB, delio e i pochi altri lettori che ancora passano da questo post">
L'esempio che fai dell'atomo con due livelli è chiaro, ma è altrettanto chiaro che si sta nascondendo sotto il tappeto del "rumore dell'ambiente" il fatto che comunque, se fossimo in grado di mantenere una descrizione quantistica anche per l'ambiente, le sovrapposizioni di stato rimarrebbero intatte: l'evoluzione complessiva è sempre e^{i omega t}, solo che ora non ci sono soltanto i due omega dell'atomo a due stati, ma anche tutti gli omega dell'ambiente; i due autostati non riuscirebbero più, certo, ad interferire in maniera evidente (come dici, la relazione di fase semplice che potevano avere all'inizio vengono "complicate" dai numerosissimi altri gradi di libertà dell'ambiente) ma non riuscirai mai, quantisticamente, senza introdurre il postulato di Born, a giustificare quale dei due autostati il tuo sistema di misura visualizzerà come output.

Ma del resto è quel che riconosci anche tu quando, proseguendo, dici che fin qui è "standard" teoria di decoerenza. E che Zurek vuol fare il passo in più, il passo dal mondo quantistico a quello classico.

Il fatto è che, come dicevo nella mail privata, tutto il discorso sulla ridondanza dell'informazione ha anche senso ma, esposto nelle sue linee generali, non ha niente di prettamente quantistico (tu stesso commenti che per chi ha un minimo di esperienza di laboratorio questo approccio dovrebbe apparire subito abbastanza ovvio). Quando poi, però, si entra nel dettaglio sul tipo di interazione che viene considerata (l'espressione (M) nel mio post) le cose non mi tornano più, tecnicamente.

Ma (cfr. short-reply) mi rendo conto che dovrei rispolverarmi un po' di teoria della decoerenza...
</long-reply>

Grazie della risposta, ciao!

J_B said...

Ok, il punto sul quale non ci intendiamo è quando tu dici che l'operatore di evoluzione è "sempre e^{i omega t}". Siamo anche d'accordo che questo sia vero per gli autostati del sistema ma qui è necessario chiarirsi su cosa intendiamo per autostati. Il mio sospetto è che tu ragioni avendo in testa il caso 1 (interazione fra sistema e ambiente trascurabile); in questo caso gli autostati della mia hamiltoniana sono realmente autostati del sistema e l'unica evoluzione che possono avere è un cambiamento di fase. Io invece ragiono considerando il caso 3 (il sistema e l'ambiente interagiscono ma non così tanto da impedirmi di scrivere l'hamiltoniana del sistema). In questo caso gli autostati dell'hamiltoniana non ci pensano neanche ad essere autostati del "sistema universo" ed il loro operatore di evoluzione sarà sì unitario ma potrà essere ben diverso da un semplice termine di fase.
Prendiamo un caso analogo ma che magari è più familiare: i quark sono autostati dell'hamiltoniana di interazione forte e, in quanto tali, dovrebbero avere come unica evoluzione posssibile un termine di fase. Fatto sta che nel mondo reale i querk interagiscono (seppure poco) anche tramite l'interazione debole. Quindi il loro operatore di evoluzione sarà un oggetto sì unitario ma molto più complesso (e da qui deriva tutto il problema del quark mixing).
Analogamente l'hamiltoniana del sistema che voglio studiare non tiene conto dell'interazione con l'ambiente e quindi i suoi autostati possono avere operatori di evoluzione complicati a piacere e quindi potranno tranquillamente essere decorrelati l'uno dall'altro in tempi brevi.