Why is local symmetry called 'gauge' symmetry in quantum field theory?

What follows is the English version of a recent post of mine in Italian, Le teorie di calibro di Weyl, aimed at reaching a larger audience for the answer to the question in the title, which seems to be quite an unknown issue, albeit an unimportant one, at least from the physics point of view.

But then I stumbled upon the Thanksgiving 2012 post of Sean Carroll, where you can read:

[...] it’s called a gauge field, because Hermann Weyl introduced an (unhelpful) analogy with the “gauge” measuring the distance between rails on railroad tracks.

and the fact that Sean is certainly a non-average physicist leads me to believe that it may not only be just an unknown matter, but a misknown one: I don't know where Sean read about the gauge as a metaphor for the rails distance, but the story is quite different from that — and by far more interesting.

My original post was intended as a summary of an issue I already pointed out here and there in the comments section of different blogs (all of them in italian). I can't remember for sure where I read of it, most probabily in the Gravitation book, but it is not such a mystery since the wikipedia page on gauge theory, both in English and in Italian, says all, and even more, what I know about it.

 

A starting point can be the question of which was, historically, the very first gauge theory. Such a question mixes up words and meanings, so the answer needs to clarify.

For sure the Maxwell's classical electrodynamics is the oldest theory among the ones we nowadays say they have a gauge symmetry, but at the time of Maxwell the term "gauge symmetry" was unknown and such a symmetry was actually intended as a mere redundancy of the potentials fields with respect to the physical fields.

The theory that for the first time was expressed in term of a local symmetry is General Relativity. But, again, not when it was first presented by Einstein, where the now-we-know-is-a gauge symmetry was just stated as the Principle of general covariance, i.e. as a coordinate change invariance.

 

Entering Weyl.

 

The gauge story begun when he recast Einstein's General Relativity using a different but equivalent formalism, according to which the principle of general covariance can be seen as the invariance of the theory under an arbitray local rotation of the tetrad, the base of the tangent bundle vector space.

But even here the term gauge was not introduced yet.

Eventually it was introduced a moment later, by Weyl of course, while trying to extend his tetrads formalism. The idea was to require the theory to be invariant under an arbitrary local change not only in the tetrad orientation, but also in its scale factor. Such a new symmetry was supposed to generate the Maxwell equations for the electromagnetic four-potential, in the very same way in which the tetrad orientation symmetry generates the Einstein equations for the gravitational field. This is why Weyl introduced the name gauge for such a symmetry, the scale factor being the "size" of the base's vectors as measured by a gauge (and no railroad analogy was involved).

Unfortunately, such an attempt didn't work in his original formulation. The idea behind was of great value though. It turned out, in fact, that electrodynamics could actually be represented as a local symmetry field theory: the two key points were to keep the idea of a rotational symmetry (like the one of the tetrads) and to give up the idea of a symmetry of the tangent bundle. The Maxwell four-potential, now we know, had to be seen as the Lie generator of a U(1) rotational symmetry of an additional "abstract" fiber bundle attached to the space-time manifold. More generally, all fundamental interactions are today understood as the effect of a symmetry each with respect to its own Lie group SU(3) × SU(2) × U(1). Despite the fact that no size nor scale was involved any more, the name gauge got stuck to all such a local symmetry field theories.

 

But our story has much more than just historical and etymological lesson to be learned.

 

Usually in quantum field theory lectures the gauge symmetry idea is presentes as an upgrading procedure from a global symmetry to a local one. The prototypical example is the phase e^iφ of the wave function, which is assigned a space dependence e^iφ(x) to. The power of such extension is clear, since this requirement is just enough, alone, to get the Maxwell electrodynamics equations, via minimal coupling.

But anyway such a recipe seems to come out of the blue: why should we devise such a point-to-point change of phase symmetry? Moreover, such a requirement is usually intended as a stricter constraint to the theory, since the transformation class under which the theory should remain unchanged is wider. So what?

Well, the real thing behind "gauging the global symmetry" lies precisely in the reason which moved Weyl to formulate its gauge theory of electrodynamics, which in turns boils down to the principle of general covariance.

When Einstein requires that equations of physics should be invariant with respect to any coordinates change, he is actually requiring a stronger symmetry, compared the previous requirement that equations should be invariant under just inertial reference changes. But the meaning of such a requirement is definitely the very opposite of imposing a stricter constraint: the meaning is just to relax the constraint that physical law are valid just within a small, arbitrary subset of reference frames! In the very same sense, the requirement that a field theory should have a local symmetry has to be intended as the release of the constraint that the bases of the Lie algebra of the gauge group should be rigidly oriented everywhere.

Hence, just like the gravitational field is an inertial effect due to the "connection" (in the technical sense of differential geometry) between two point at a finite distance which are not reciprocally inertial, in the same way the electromagnetic field is a U(1)-inertial effect due to the connection between two point at a finite distance which have the algebra bases not aligned each other.

Le teorie di calibro di Weyl /sequel

Dice Sean Carroll nel suo post di Thanksgiving 2012:

[...] it’s called a gauge field, because Hermann Weyl introduced an (unhelpful) analogy with the “gauge” measuring the distance between rails on railroad tracks.

Ma dove diavolo avrà letto di questa presunta, unhelpfull, metafora della distanza fra le rotaie di una ferrovia? Forse da uno dei significati comuni del termine gauge?

Mi toccherà tradurre in inglese il mio post Le teorie di calibro di Weyl?

Le teorie di calibro di Weyl

Post per Delio, questo, chissà se mi legge ancora,
dopo tutta questa serie di post su Quine, prima, e sugli austriaci, poi,
che hanno fatto evaporare quasi completamente la fisica
da questo, un tempo rispettabile, bel blog di fisica (bontà sua…).

Questo recente post di Peppe Liberti su Focus.it, Il circolo di Weyl, mi ha ricordato la storia dell'origine del termine gauge usato oggi per indicare le teorie di campo con simmetria (interna e) locale. Non ricordo più dove la lessi, forse sul Gravitation di Wheeler. Non pare sia una cosa molto nota, fra i fisici, e tutto sommato giustamente, visto che si tratta di una curiosità storica. Ma era una storia che mi aveva colpito, per l'idea molto suggestiva di un'estensione della simmetria della relatività dalla sola rotazione della tetrade alla sua "scala", e così provo a riportarla qui per i miei strenui lettori. Non che sia chissà quale segreto, la pagina di wikipedia sulle teorie di gauge, sia in italiano che in inglese, riporta tutto e più di quel che ricordi io stesso.

 

Avevo già avuto modo di parlarne quasi cinque anni fa — vi ricordate, quando ancora esistevano i blog? — in calce a questo post di Lap(l)aciano, Simmetrie di gauge (II). Si disquisiva di quale fosse, storicamente, la prima teoria di guage in assoluto. La domanda non fa distinzione fra questioni semantiche e questioni nominali, e la risposta è costretta a dover distinguere.

Fra le teorie che oggi chiamiamo "di gauge", quella che fu formulata storicamente per prima fu la teoria di Maxwell per l'elettrodinamica classica, ma, quando fu formulata, il termine "simmetria di gauge" non esisteva ancora e la simmetria delle equazioni di Maxwell era espressa in termini di una funzione di trasformazione per i potenziali scalare e vettore che lasciavano inalterati i campi elettrici e magnetici (cfr. Gauge fixing).

La prima teoria formulata esplicitamente come teoria di campo con una simmetria "locale" è stata la relatività generale, ma anche in quel caso, nella formulazione originale di Einstein, la simmetria di gauge era in realtà espressa come principio di covarianza generale, ovvero come simmetria rispetto ad un'arbitraria trasformazione (differenziale) di coordinate. Fu appunto Weyl ad elaborare un formalismo alternativo ma equivalente, quello delle tetradi, in cui il principio di covarianza poteva essere interpretato come una simmetria rispetto ad un'arbitraria rotazione, locale, della base del fibrato tangente. Ma nemmeno in questa formulazione, ancora, si usa il termine gauge. Il termine gauge viene introdotto però in quello stesso momento, dallo stesso Weyl appunto, nel tentativo di estendere tale formalismo per spiegare anche l'elettromagnetismo di Maxwell in termini geometrici, come la relatività di Einstein spiegava la gravità. L'idea suggestiva di Weyl era quella di estendere la simmetria della teoria di campo non solo alla rotazione della tetrade ma anche alla sua "dimensione", alla lunghezza dei vettori della base. Ecco il motivo del termine gauge, calibro, a richiamare l'idea di una misura di lunghezza.

Purtroppo il tentativo, in questo preciso approccio, non funzionò. Ma l'idea fu feconda: l'elettromagnetismo poteva davvero essere interpretato come una teoria di campo con simmetria locale, solo che bisognava restare attaccati al concetto di simmetria per rotazioni, come quella delle tetradi, ed abbandonare invece il concetto che la simmetria dovesse riguardare lo spaziotempo o il suo fibrato "naturale". Il quadripotenziale di Maxwell andava infatti interpretato come il generatore di Lie di una simmetria rispetto alla rotazione della base di un ulteriore fibrato "astratto". A dispetto del cambio di contesto, il nome restò, e da allora per le teorie di campo si parla di simmetria di gauge tutte le volte che c'è invarianza rispetto ad una trasformazione locale di un generico gruppo, generalizzando il caso del gruppo delle rotazioni. Tutte le interazioni fondamentali, in particolare, sono interpretate come l'effetto di una simmetria di questo tipo rispetto a gruppi di simmetria associati alle cariche dell'interazione (elettrodebole e di colore).

 

Ma la morale di questa storia non è solo di carattere storico ed etimologico.

Nei corsi di teoria dei campi il concetto di simmetria di gauge viene presentato come "promozione" a simmetria locale di una simmetria globale. L'esempio classico è proprio quello della fase e^iφ della funzione d'onda a cui si assegna una dipendenza dalle coordinate spaziali: e^iφ(x). La "potenza" di tale estensione è evidente, visto che è sufficiente questa sola richiesta di "località" della simmetria per dedurre, via accoppiamento minimale, le equazioni di Maxwell per l'interazione elettromagnetica. Ma la cosa sembra un po' piovere dal cielo: perché mai dovremmo inventarci questa dipendenza puntuale della simmetria? Oltretutto tale estensione viene interpretata come una richiesta "più forte" di simmetria, visto che la classe di trasformazioni rispetto alla quale la teoria deve restare invariata è più ampia. Ebbene, le motivazioni di Weyl che portarono alla formulazione delle teorie di "gauge" mettono in luce la vera natura della richiesta di "località" della simmetria, da ricondurre, in fondo, al principio di covarianza generale.

Quando Einstein richiede che le equazioni della fisica siano invarianti rispetto ad una qualsiasi trasformazione di coordinate, sta effettivamente richiedendo una simmetria più forte di quella che fossero invarianti solo per trasformazioni inerziali. Ma il senso di tale richiesta è l'esatto opposto di quello di imporre una condizione più stringente, ed è quello, appunto, di rilasciare un vincolo, arbitrario, per il quale una classe particolare di sistemi di riferimento avrebbero avuto un fiocco rosso. Allo stesso modo la richiesta che la teoria di gauge abbia una simmetria locale va interpretata come la rinuncia al vincolo per cui la base dell'algebra del gruppo sia orientata rigidamente dappertutto.

Così, come il campo gravitazionale è un effetto inerziale dovuto alla necessità di dover "connettere" (nel senso tecnico di geometria differenziale del termine) due punti distinti non necessariamente reciprocamente inerziali, allo stesso modo l'elettromagnetismo è un effetto che potremmo dire "U(1)-inerziale" dovuto alla necessità di dover "connettere" due punti distinti che non necessariamente hanno la base dell'algebra (la fase) "orientata" allo stesso modo.